數學教你不犯錯

1. 要變得更像是瑞典嗎?
1. 不要過度簡化問題
1. 並非所有曲線都是直線, 不是線性的東西就不應該用線性去思考
2. 拉弗曲線
   
   
3. 拉弗曲線也不是完全正確的, 曲線上會有區域性的梯型或是山腰變化.
   
   
2. 局部平直, 大域彎曲
1. 主要從經典的極限理論探討到微分和導數
2. 衍伸討論了非標準分析, 嚴格定義的無限小的數（infinitesimal number）的概念來構建分析學。
   
   
3. 每個人都肥胖
1. 如同真確裡面的直線型直覺偏誤
1. 局部看起來很像是線性的關係, 廣域來看並不一定也是線性
2. 好比在拋物線上, 上升區段看起來會像是直線
2. 線性廻歸是好工具, 但要注意適用範圍和結果是否合理
1. 好比拿百分比跟時間做線性回歸, 最後得到超過某個時間點, 百分比會超過100% 的結論, 這就是明顯的錯誤
   
   
4. 相當於死了多少美國人?
1. 套用比例的時候要小心
1. 如果要檢驗某個數學方法, 試著用不同途徑去計算同樣的東西, 如果答案相異, 方法可能有問題
1. 好比, 比較911的罹難者時
1. 用罹難者人數:紐約人口去論述好比在台北被炸死了多少人
2. 用罹難者人數:台灣人口去論述好比在台灣被炸死了多少人
   
3. 上兩者答案不同, 可以判斷出方法有錯誤
2. 取比例時, 要考慮母體大小與採樣次數
1. 大數法則
1. 樣本數量越多, 則其算術平均值就有越高的機率接近期望值.
2. 換言之, 極限值較容易出現在樣本數較少的地方
1. 好比只上場一次的運動員的命中率
2. 常態分佈告訴我們
1. 樣本增加一百倍, 標準差變成十倍
2. 距平均值
1. 小於一個標準差:68.27%
2. 小於二個標準差:95.45%
3. 小於三個標準差:99.73%
3. 不過別忘了是每個事件是獨立事件
   
   
5. 派餅比盤子還大
1. 數字會變負的時候, 免談百分比
1. 在計算和考慮比例的時候, 如果構成裡面允許負數, 那最終數字可能沒有意義
1. 簡單舉例來說, 好比有投資A, B, C三個項目
1. A賠了500
2. B,C 賺了500
3. 總共賺-500+500+500 = 500, 所以B佔了500/500 = 100%
   
   
6. 破解聖經密碼迷思
1. 在思考低機率事件發生的可能性時, 要考慮樣本數
1. 當樣本數夠大, 低機率事件的發生期望值往往不低
2. 曖昧模糊的規則會給予迴旋空間, 增加樣本數
1. 以聖經密碼來說, 人名的拼法和縮寫方式可以大量增加樣本數
3. 不可思議的事情常常發生
1. 樣本數夠大, 生存者偏差
   
   
7. 死魚不會讀心
1. H0, Null hypothesis, 虛無假說
2. 虛無假說的內容一般是希望能證明為錯誤的假設，與虛無假說相對的是對立假說，即希望證明是正確的另一種可能。
1. 做實驗(取樣)
2. 令虛無假設為真, 計算符合實驗結果的極端機率值p
   (有多少機率會產生這樣的實驗結果)
3. 若p很小, 則可以說有統計上的顯著性可以排除虛無假設
3. 要記得這只是工具, 錯誤的運用或取樣可能會影響p
   
   
8. 歸謬法
1. 流程
1. 假定H為真
2. 由H推出F不可能成立
3. 然後F必定成立
4. 所以H必為假
2. 虛無假定
1. 假設H為真
2. 從H可以推出, 觀察到O的可能性很低
3. 然而觀察到 O
4. H不太可能為真
3. 但是套用在機率上時, 要謹慎
1. 假設有50人, H說他們是人類
2. 觀察到他們之中有一個白化症病患
1. 白化症相當罕見
3. 假設H為真的前提下, 在50個人中觀察到白化症病患的機會相當低
1. 換言之, 在H條件下觀察到O, 而O的可能性很低
2. H不太可能為真
   
   
9. 科學研究的可信度
1. 常見的統計顯著閥值是0.05
1.  也就是藉由觀察到一個5%的結果來否定虛無假設
2. 換言之, 有5%的機率, 我們錯誤的否決了虛無假定
3. 舉例來說, 如果對1000個因子個別做虛無假定的實驗,
   就算實際上他們都不符合所需, 根據期望值, 也會有50個因子的實驗會做出有統計上顯著差異的結果
2. 另一個潛在問題是, 由於閥值是0.05, 透過調整數據, 增加變因可以讓p通過閥值
1. 結果是很多研究結果的p都略小於0.05 
   
   
10. 上帝, 你在嗎? 是我, 貝式推論
1. 貝式推論
2. P(H | E) = P(E | H) * P(H) / P(E) 
1. H 是假說
2. E 是證據, 新觀測的結果
3. P(H) 是事前機率, 在未知E之下對H的假設機率
4. P(H | E) 是事後機率, 也就是E發生後, 新的H的機率
5. P(E | H) 是假設H成立時, E發生的機率
6. P(E) 邊際概似率, 對不同H是定值, 
3. 概念上來說, 透過貝式推論我們可以結合新的證據和之前推斷出來的機率, 進行機率的更新
4. 以丟硬幣來舉例
1. H1 : 硬幣60%正面, 40%反面
   H2 : 硬幣50%正面, 50%反面
   H3 : 硬幣40%正面, 60%反面
2. 事前機率假設
   P(H1) =0.05
   P(H2) =0.9
   P(H3)=0.05
3. E : 連續出五個正面
4. 則
   P(E|H1) = 0.6 ^ 5 =7.76% 
   P(E|H2) = 0.5 ^ 5 = 3.125%
   P(E|H3) = 0.4 ^  5 = 1.024%
5. P(H1|E) = P(E|H1) * P(H1) / P(E) = 7.76% * 5% / P(E) = 0.0039 / P(E)
   P(H2|E) = P(E|H2) * P(H2) / P(E) = 3.125% * 90% / P(E) = 0.0281 / P(E)
   P(H3|E) = P(E|H3) * P(H3) / P(E) = 1.024% * 5% / P(E) = 0.0005 / P(E)
   P(H1)+P(H2)+P(H3) = 1
   得到P(H1|E) = 12%, P(H2|E)=86.5%, P(H3|E) = 1.5%
   
   
11. 你期望贏得樂透時, 是在期望什麼?
1. 期望值
1. 隨機試驗在同樣的機會下重複多次，所有那些可能狀態平均的結果
2. 也可以視作大數法則下多次實驗的逼近值
2. 期望值可以相加
1. E(X+Y) = E(X) + E(Y)
2. 兩件事物加再一起的期望值, 等於個別的期望值相加
3. 套在樂透上, 可以用總分發獎金/總投入金額得到期望值
   
   
12. 錯過更多班機
1. 主流的經濟學認為, 人依靠理性做決策時會追求效用(utility)的最大化
1. 導入U值來度量效用, 可以計算各種決策的期望值
2. 舉例來說, "起飛前多久到機場"的問題中, 設定一小時的成本為U, 錯過飛機的損失為6U
1. 起飛前 2 小時到機場, 有2% 次會錯過
1. -2 + 2% * -6 = -2.12U
2. 起飛前 1.5 小時到機場, 有5% 次會錯過
1. -1.5 + 5% *-6 = -1.8U
3. 起飛前 1 小時到機場, 有15% 次會錯過
1. -1 + 15% * -6 = 1.9U
3. 聖彼得堡悖論
1. 投硬幣直到正面出現, 假設擲了n次, 則給予2^n的報酬
2. 期望值為 1 * (1/2) + 2 * (1/4) +  4 * (1/8) ... 結果發散
3. 換言之這遊戲期望值發散
4. 已知的未知 vs 未知的未知
1. 前者稱為風險, 後者稱為不確定性
2. 具備不確定性的問題往往影響效用理論.
   
   
13. 火車鐵軌相交之處
1. 射影幾何 
1. 公設1 :每一對點都恰屬於一條共有的線
2. 公設2: 每一對線都恰包和一個共有的點 
2. 法諾平面
   
   
   
3. 漢明碼與漢明距離
1. 在資訊理論中，兩個等長字符串之間的漢明距離（英語：Hamming distance）是兩個字符串對應位置的不同字符的個數。
2. 在電信領域中，漢明碼是一種線性錯誤更正碼，最小距離為3的碼中能達到最高的位元速率。
3. 編碼保證了任意兩碼的最小距離, 並且盡量佔滿空間.
   
   
14. 平庸會出頭
1. 均值回歸
1. 統計結果告訴我們, 利用公司現在的表現去看未來表現, 會有均值回歸現象
1. 好的公司變爛來接近平均, 壞的公司變好來接近平均
2. 個人認為這邊排除了死掉的公司
2. 數學上的解釋是, 未來的表現除了受到現在表現的影響, 也受到環境和機會因素的影響
1. 好的母代只能控制前面的變因, 但無法影響後者
2. 於是, 子代雖然會受母代表影響, 但考慮到隨機的環境和機會, 結果會偏向均值.
3. 換言之, 只要研究的對象受機率影響, 就會有均值回歸的趨向
   
   
15. 高爾頓的橢圓
1. 關聯性
1. 關聯性 0
   
   
   
2. 關聯性 1
   
   
   
3. 關聯性 0~1
   
4. 所謂關聯性, 相關, corrleation, 
1. 數學上, 指兩組資料的對應的向量的角度餘弦
1. 兩個向量夾角0, 餘弦1, 完全正相關
2. 兩個向量夾角180, 餘弦-1, 第三方的原因造成抽煙ㄉㄜ˙負相關
3. 兩個向量夾角90, 餘弦0, 正交, 完全無相關
5. 相關性沒有傳遞姓
1. A 和 B 相關, B和C相關, A不一定和C相關
6. 另外, 這邊的相關只有考慮的線性關係.
   
   
16. 肺癌會讓你抽煙嗎?
1. 相關並不等於因果, 就算統計上發現肺癌和抽煙有相關, 其實也有這些可能:
1. 肺癌是因, 抽煙是果, 肺癌的人特別想抽煙
2. 抽煙是因, 肺癌是果, 抽煙的人容易肺癌
3. 第三方的原因造成抽煙和肺癌的相關性, 好比伯克森謬論
2. 伯克森謬論
1. 假設1000人裡面, 300人有高血壓, 400人有糖尿病, 120兩者兼有(因此兩者無相關)
2. 假設所有病患都入院, 在醫院的580裡面
1. 180有高血壓但是沒有糖尿病
2. 280沒有高血壓但是有糖尿病
3. 120人兩者都有
3. 換言之, 從醫院來看
1. 糖尿病患30%有高血壓, 而沒糖尿病的人100%有高血壓
2. 可以推得高血壓和糖尿病負相關的謬論
   
   
17. 沒有民意這種東西
1. 多數決的方法簡單漂亮又讓人感覺公平, 然而它能發揮最大效果的地方, 是在兩個選項中取一
1. 一旦超過兩個選項, 會有矛盾滲入多數所偏好的選項
2. 舉記來說, 對於歐巴馬健保的民調:
1. 37%的人傾向撤銷健保
2. 10%的人傾向削弱法條
3. 15%的人傾向不變動
4. 36%的人表示應該強化
5. 這兩個敘述都成立:
1. 多數人反對歐巴馬健保
2. 多數人要保留或強化歐巴馬健保
3. 同樣適用在超過二選項的多數決的選舉
1. 黏菌實驗
1. 多頭絨泡黏菌的許多個體會形成一個變形菌體
1. 分散式的思維還是可以進行相當有效的決策
2. 黏菌喜歡燕麥, 討厭紫外線
3. 實驗結果顯示
1. 如果選項有 3公克的燕麥(3黑) 和 紫外線照射的五公克的燕麥(5光), 黏菌偏好是1:1, 兩者喜好差不多
2. 如果是 3黑 vs 10光, 黏菌會選擇10光居多
3. 但是如果是三選擇, 3黑, 5光, 1黑, 那3黑的次數會遠遠大於5光
1. 換言之, 第三選項雖然沒人選擇, 卻影響了最終結果
4. 不對稱控制效應
1. 假設一半的黏菌以食物量為優先, 喜好順序是5光, 3黑, 1黑
   另一半的黏菌以光亮為優先, 喜好順序是3黑=1黑, 5光
2. 給第一名2分, 第二名1 分, 第三名0分
1. 5光 : 2*0.5 + 0*0.5 = 1
   
2. 3黑 : 1.5*0.5 + 1*0.5 = 1.25
3. 1黑 : 1.5*0.5 + 0*0.5 = 0.75
3. 如果只有5光和3黑參戰
1. 5光: 1 * 0.5 + 0*0.5 = 0.5
   
2. 3黑 : 0* 0.5 + 1*0.5 = 0.5 
4. 這符合觀察結果
5. 換言之, 一個相似但比較差的選擇(1黑)讓原本的選擇(3黑) 看起來更好了
   
   
18. 我從虛空中創造出一個新奇宇宙
1. 歐幾里德幾何與非歐幾何
1. 歐幾里德幾何的五個公設
1. 從一點向另一點可以引一條直線
2. 任意線段能無限延伸成一條直線
3. 給定任意線段, 可以以其一個端點作為圓心, 該線段作為半徑作一個圓
4. 所有直角都相等
5. 通過一個不在直線上的點, 有且僅有一條不與該直線相交的直線
2. 第五公設又稱作平行公設
3. 在其他幾何裡面,  平行公設不一定成立
2. 數學的形式主義
1. 簡單說, 建立精確和完備的公設
2. 希爾伯特計畫
1. 所有數學的形式化
1. 意思是，所有數學應該用一種統一的嚴格形式化的語言，並且按照一套嚴格的規則來使用完備性。
2. 我們必須證明以下命題：在形式化之後，數學裡所有的真命題都可以被證明（根據上述規則）。
2. 一致性。我們必須證明：運用這一套形式化和它的規則，不可能推導出矛盾。
3. 保守性。我們需要證明：如果某個關於「實際物」的結論用到了「假想物」（如不可數集合）來證明，那麼不用「假想物」的話我們依然可以證明同樣的結論。
4. 確定性。應該有一個算法，來確定每一個形式化的命題是真命題還是假命題。
3. 皮亞諾公設
1. 0是自然數；
2. 每一個確定的自然數a，都有一個確定的後繼數a' ，a' 也是自然數；
3. 對於每個自然數b、c，b=c若且唯若b的後繼數=c的後繼數；
4. 0不是任何自然數的後繼數；
5. 任意關於自然數的命題，如果證明：它對自然數0是真的，且假定它對自然數a為真時，可以證明對a' 也真。那麼，命題對所有自然數都真。
4. 哥德爾不完備定理
1. 邏輯上，一致性（consistency）、相容性、自洽性，是指一個形式系統中不蘊涵矛盾。
2. 任何自洽的形式系統，只要蘊涵皮亞諾算術公理，就可以在其中構造在體系中不能被證明的真命題，因此通過推理演繹不能得到所有真命題（即體系是不完備的）。
3. 任何邏輯自洽的形式系統，只要蘊涵皮亞諾算術公理，它就不能用於證明其本身的自洽性。